معیار پایداری روت هرویس: حداقل انتظار از یک سیستم کنترلی حلقه بسته، پایدار بودن سیستم است یک سیستم ناپایدار و یا بی‌ثبات ارزش کاربردی نخواهد داشت به عنوان مثال حداقل انتظار از یک سیستم سیاسی و حکومتی در یک کشور ایجاد امنیت و جلوگیری از حرج و مرج و اصطلاحا پايدارسازی آن کشور به عنوان سیستم محسوب می‌گردد. از این رو بسیاری از دانشمندان حوزه سیاسی معیار داشتن قدرت برای برقراری نظم و ثبات را در جامعه، اولین و مهم‌ترین خصیصه حاکم آن جامعه می‌دانند. پس از برقراری پایداری سایر انتظارات مانند داشتن پاسخ پله مناسب، خطای ماندگار کم و غیره قابل انتظار خواهند بود. پایداری يا ناپايداري يك سيستم جزو خواص ذاتي و دروني آن سيستم بوده و عموما به نوع ورودي سیستم بستگي ندارد. تعاریف متعددی از پایداری یک سیستم وجود دارد یک سیستم با داشتن پاسخ محدود به یک ورودی محدود را می توان پایدار یا پایدار ورودی محدود- خروجی محدود نامید. در این صورت پاسخ سیستم به ازای یک ورودی با دامنه محدود به شکل نامحدود افزایش نیافته و در بازه مشخص و محدودی باقی می‌ماند. چنین تعریفی از پایداری لازم میدارد که سیستم حلقه بسته قطبی در سمت راست محور موهومی نداشته باشد. شرط لازم و کافی برای پایداری يك سيستم آن است كه تمامی قطب‌های حلقه بسته و يا تمامی ريشه‌هاي معادله مشخصه آن سمت چپ محور موهومی قرار داشته باشد. اگر تنها يك قطب سیستم حلقه بسته سمت راست محور باشد، سيستم ناپايدار می‌گردد. معیار پایداری روت هرویس می‌تواند بر اساس ضرایب معادله مشخصه در خصوص تعداد ریشه‌های سمت راست محور موهومی قضاوت نماید.
مکان هندسي ريشه‌ها: مكان هندسي قطب هاي سيستم حلقه بسته بدون نياز به محاسبه دقيق آنها است، وقتي كه پارامتري دلخواه مانند گين سيستم تغيير مي‌كند. به عنوان یکی از نیرومندترین ابزارهای طراحی کنترل‌کننده‌ها مورد استفاده طراحان سیستمهای کنترل خطی قرار دارد. مکان هندسی ریشه‌های معادله مشخصه یا محل قرارگیری قطب‌های حلقه بسته، می‌تواند به ازای تغییرات یک پارامتر مشخص در بازه منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت، چگونگی تغییرات تمامی قطب‌های حلقه بسته را ترسیم نماید و به این ترتیب یک نمای کلی از پایداری، ناپایداری و سایر خصوصیات عملکردی سیستم را در اختیار قرار دهد. در این فیلم آموزشی مراحل ترسیم مکان هندسی به طور کامل توضیح داده می‌شود مراحل مختلف رسم دياگرام هندسي ريشه ها به صورت زیر است:
قدم اول:تبدیل معادله مشخصه حلقه بسته را به فرم عمومی قدم دوم:تعیین محل قطبها و صفرهاي تابع تبدیل حلقه باز قدم سوم:مشخص نمودن بخش‌های متعلق به مکان روی محور حقیقی قدم چهارم:محاسبه محل تلاقی و زوایای مجانب‌ها قدم پنجم:محاسبه نقطه شكست قدم ششم: محاسبه زوايای ترك
مباحث تکمیلی مکان هندسی ریشه‌ها: محاسبه مقدار بهره سیستم بر روی یک نقطه دلخواه از مکان هندسی به خصوص در مرز پایداری و ناپایداری مورد بحث قرار می‌گیرد همچنین ترسیم مکان هندسی ریشه‌ها به ازای مقادیر منفی بهره سیستم ارائه می‌شود مثال‌های ساده تا مثال‌های دشوار به انتقال موضوع و مفاهیم به شکل کاملا گرافیکی کمک شایانی می‌نماید. مراحل ترسیم مکان هندسی ریشه‌ها به ازای مقادیر منفی از تغییرات یک پارامتر، مشابه ترسیم برای مقادیر مثبت بوده و تنها تفاوت‌های کوچکی دارد به این ترتیب میتوان ترسیم کاملی از کل مکان هندسی به ازای مقادیر منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت از تغییرات یک پارامتر را انجام داد. در برخی از سیستمهای کنترلی با چندین حلقه کنترلی، میتوان برخی از حلقههای کنترلی داخلی را با فیدبک مثبت در نظر گرفت. ناپایداری این حلقه داخلی بوسیله حلقه بیرونی با فیدبک منفی جبران می‌گردد. مکان هندسی ریشه‌ها به ازای تغییرات بهره حلقه داخلی با فیدبک مثبت مشابه ترسیم مکان هندسی برای یک بهره با تغییرات مثبت در سیستم فیدبک منفی است.
نمودار نایکوئیست: یکی از ابزارهای نیرومند برای تحلیل پایداری یک سیستم روش ابداعی نایکوئیست در سال 1932 است. در بخش‌های گذشته روش‌هایی مانند دیاگرام بد، مکان هندسی ریشه‌ها و روش روت هرویس کمک زیادی به تشخیص حدود و چگونگی پایداری یک سیستم نمودند یکی از زیبائی‌های درس سیستمهای کنترل خطی، وجود روش‌های موازی برای تشخیص پایداری یک سیستم است. در این بخش سعی خواهد شد تا صحت درستی پاسخ از روش نایکوئیست را با روش‌های روت هرویس و مکان هندسی ریشه‌ها نیز مورد تائید قرار دهیم. معیار پایداری نایکوئیست، مبتنی بر قضیه کوشی در مورد توابع با متغیرهای مختلط بوده. یک پیش نیاز مناسب برای روش نایکوئیست تسلط بر مبحث نگاشتهای مختلط درس ریاضی مهندسی می‌باشد.
قضیه کوشی: اگر مسیر بسته در نظر گرفته شده در صفحه ، تعداد z صفر از صفرهای F(s) و تعداد p قطب از قطب های F(s) را دور بزند در آن صورت مسیر بسته تحت نگاشت F(s) به تعداد N=z-p بار مبدا مختصات را در همان جهت دور خواهد زد.
مسیر بسته نایکوئیست:کل نیم صفحه سمت راست محور موهومی که شامل مبدا مختصات نمی‌باشد، مسیر بسته نایکوئیست گویند. مسیر مورد نظر روی محور موهومی تمامی فرکانس‌های صفر تا بی‌نهایت را در بردارد. به این ترتیب نگاشت روی این بخش از مسیر بسته نایکوئیست، پاسخ فرکانسی سیستم را در بر خواهد داشت.
دیاگرام نایکوئیست: نگاشت مسیر بسته نایکوئیست تحت تابع تبدیل حلقه باز را، دیاگرام نایکوئیست گویند.
معیار پایداری نایکوئیست:یک سیستم فیدبک‌دار با تابع تبدیل حلقه باز در صورتی پایدار است که تعداد دور زدن‌های خلاف جهت عقربه‌های ساعت حول نقطه 1- دیاگرام نایکوئیست آن برابر تعداد قطب‌های سمت راست محور موهومی باشد.
جبران کننده‌ها: عموما یک سیستم کنترل حلقه باز با تابع تبدیل خواص کنترلی مطلوبی نظیر پاسخ گذرای سریع، خطای ماندگار کم، مقاومت بالا در برابر اغتشاشات و حساسیت پائین را ندارد. راه حل مناسب، استفاده از یک فیدبک و کنترل مناسب است. لذا هدف از این مبحث طراحی کنترل کننده یا جبران کننده به گونه ای است که خواص کنترلی مطلوب برآورده شود.
استفاده از یک بهره ثابت مانند k به عنوان کنترل کننده فرآیند، یک راه ساده برای برآورده سازی خواسته های کنترلی محسوب می گردد. در سیستم درجه 2، برای کاهش خطای ماندگار کافی است بهره را افزایش دهیم افزایش بهره از طرفی موجب کاهش ضریب میرایی و افزایش درصد فراجهش می‌گردد که مطلوب یک سیستم کنترلی نیست لذا نیاز به یک کنترل کننده که درجات بالاتری از آزادی را برای طراحی در اختیار کاربر قرار دهد، آشکار می گردد.
